next up previous contents
Naprej: Splošen postopek MKE Gor: Teoretične osnove metode Nazaj: Teoretične osnove metode Vsebina: contents

Osnovne enačbe elasto mehanike

Metoda končnih elementov temelji na enačba elasto mehanike saj z njihovo pomočjo definiramo povezavo med pomiki v polju in vozliščih elementa. Probleme elastomehanike opišemo z elementi napetostnega tenzorja , deformacijskega tenzorja in vektorja pomikov . Tenzor napetosti

tenzor specifičnih deformacij

in vektor pomikov

=1000 V zgornjih treh enačbah natopa 15 neznank. Rabimo torej 15 enačb za rešitev elastomehanskega problema. Komponente obeh tenzorjev in vektorja med seboj povezujejo enačbe elastomehanike.

a.) Ravnotežne enačbe statike =10000

 

eksplicitno v kartezijevih koordinatah

b.) Zveza med malimi specifičnimi deformacijami in pomiki

 

ali v eksplicitni obliki

c.) Povezava napetosti in deformacij Za Hookov material in majhne deformacije je ta zveza

 

ali v komponentni obliki

 

V enačbi je volumska diletacija

Koeficienta in pa sta Laméjevi konstanti

in Poissonovo število. V enačbah gif in gif so napetosti izražene s specifičnimi deformacijami. Namesto teh enačb lahko uporabimo tudi enačbe v katerih nastopajo specifične deformacije izražene z napetostmi. Za ta primer je enačba

Opisane enačbe upoštevajo tudi napetosti in deformacije, ki izvirajo iz tempraturne obremenitve T. V primeru, da porazdelitev v kontinuumu vnaprej ni poznana uporabimo prenosno enačbo za prenos toplote

Tudi to enačbo rešimo z MKE. Če enače opisane v točkah (a), () in (c) zapišemo v komponentni obliki dobimo 15 enačb, ki omogočijo rešitev sistema s petnajstimi neznankami. Pri reševanju pa moramo upo"tevati še robne pogoje in zunanje obremenitve.

V primeru robnih pogoje so na povšini določene sile

ali pa pomiki

Velikokrat pa se na konstrukcijah pojavljajo mešani robni pogoji pri čemer so na delu konstrukcije določene sile drugod pa pomiki.

Sistem enačb elastomehanike da enoli"no rešitev le v primeru da so izpoljene kompatibilnostne enačbe

ki so zadosten pogoj za enolično rešitev le za enkrat povezana območja. V primeru večkrat povezanih območij moramo uporabiti dodatne enačbe, ki zagotavljajo enoličnost pomikov okoli notranjih zaključenih ploskev. Namesto ravnotežnih enačb, pri MKE, uporabljamo princip virtualnih pomikov, ki pravi, da je za ravnotežne sisteme virtualno delo zunanjih sil enako virtualnemu delu notranjih sil

V eksplicitni obliki pa

 

Enačbe elasto mehani zapišemo v matrični obliki, ki je mnogo bolj primerna za programiranje. Tenzorja napetosti in deformacij ter vektor pomikov so v matričnem zapisu posplošeni vektorji

Sedaj lahko zapišemo ravnotežno enačbo gif v matrični obliki

 

V tej enačbi je matrika diferencialnih operatorjev

Vektor volumskih sil pa je

Enačbo gif zapišemo v eksplicitni obliki

Prav tako tudi enačbo specifičnih deformacij gif zapišemo v matrični obliki

ali v komponentni obliki

Hookov zakon podan z enačbo gif zapišemo v matrični obliki

ali v komponentni obliki

Matriko E imenujemo matrika elastičnih konstant, vektor pa temperaturni vektor. Princip virtualnih pomikov gif je v matrične zapisu

V enačbi je generalizirani vektor, ki zajame sile in momente

Tem silam pa ustrezajo virtualni pomiki in zasuki



Leon Kos
Mon Apr 22 10:36:01 GMT+0100 1996